Dedução e indução - Noções elementares de lógica

O raciocínio chega de uma premissa a uma conclusão, ando por várias outras premissas intermediárias. Nesse sentido, podemos dizer que o raciocínio é um conhecimento mediato ou indireto, isto é, intermediado por vários outros. Assim, é o contrário da intuição, que é o conhecimento imediato.

Raciocinamos ou argumentamos, portanto, quando colocamos premissas que contenham evidências em uma ordem tal que, necessariamente, nos levam a uma conclusão. Essa sistemática se compõe de processos racionais que ligam o que se conhece ao que ainda é desconhecido, ou seja, são processos que permitem obter novos conhecimentos a partir de conhecimentos já adquiridos. Basicamente, há dois processos segundo os quais organizamos os nossos raciocínios: a dedução e a indução.

Deduzir

A dedução consiste em se chegar a uma verdade particular e/ou específica a partir de outra mais geral ou abrangente. Portanto, ao incluirmos um fato específico em outro mais geral, estamos raciocinando por dedução, como se vê no exemplo que segue:

1) A é sempre igual a B (fato geral, também chamada de premissa maior);
2) existe um X que é igual a A (caso particular ou premissa menor);
3) logo, este X é igual a B (conclusão).
Vejamos agora um exemplo aplicado a uma questão de caráter mais especificamente matemático:

1)Todo número ímpar pode ser escrito como 2n + 1, para qualquer n inteiro;
2) 325 é um número ímpar;
3) logo, 325 pode ser escrito como 2n + 1, se n for igual a 162.

Ou seja, 2 X 162 + 1 = 365.

Induzir

Na indução, percorremos o caminho contrário: observando casos particulares, isolados, procuramos neles um padrão, ou uma lei geral que os explica e se aplica a todos os casos isolados análogos aos observados.

1)Todos os As observados são iguais a B (observação de dados ou fatos isolados);
2)Logo, todo A é igual a B (indução).
Agora, um exemplo numérico:

1) Todo número que apresenta o algarismo das unidades igual a 4 é um número par;
2) Logo, 64 é um número par.

A indução na matemática
A indução é o processo natural de obtenção de respostas nas ciências experimentais, como a biologia e a química. Apesar de não ser o caso da matemática - que é uma ciência cujos fatos fundamentais não estão alicerçados na experiência -, alguns de seus ramos em desenvolvimento procuram respostas iniciais através de indução.

Resultados obtidos dessa maneira devem ser colocados à prova, posteriormente, por outros critérios independentes, pois o método indutivo pode nos levar a conclusões falsas: premissas verdadeiras não implicam necessariamente conclusões verdadeiras!

Vejamos dois exemplos:

1) O número 64 é par;
2) logo, todo número que tem dois algarismos é par.

Aqui, a generalização da premissa verdadeira resultou em uma conclusão falsa ou incorreta.

Vamos a um outro exemplo:

1) A expressão f(n) = n² - n + 41 produz, para n = 1, um resultado primo (verdadeiro: f(1) = 41);
2) a expressão f(n) = n² - n + 41 produz, para n = 2, um resultado primo (verdadeiro: f(2) = 43);
3) a expressão f(n) = n² - n + 41 produz, para n = 3, um resultado primo (verdadeiro: f(2) = 47);
4) logo, a expressão f(n) = n² - n + 41, n $$?$$$$?$$ N, produz números primos.

Nesse caso, poderíamos encontrar respostas verdadeiras para $$\le$$ n 40; no entanto, f(41) = 41² - 41 + 41 = 41², que não é primo! Então, a generalização de 41 premissas verdadeiras resultou em uma conclusão falsa.

Garantia de validade

O exemplo abordado nos leva a outras questões muito importantes. Até onde devemos testar uma hipótese? E como garantir a validade das conclusões a que chegamos?

Existem duas abordagens para esses problemas. Na abordagem experimental, um cientista tentaria resolver o problema através da experimentação e, depois de testar algumas possibilidades, vai descobrir que a fórmula fracassa para n = 41. Mas poderia ser diferente: se a sua hipótese caísse apenas em um n muito grande, seria muito mais difícil descobrir. Poderia, inclusive, ocorrer de a fórmula ser verdadeira!

Depois de algumas centenas de testes, o cientista chegaria à conclusão de que existem evidências suficientes de que a expressão realmente gera todos os primos maiores que 40. Contudo, o cientista jamais teria certeza de que isto é verdade, porque pode existir algum n ainda não testado que derruba a sua tese. Existem infinitos n naturais e só é possível explorar uma pequena fração deles. Assim, o cientista teria que conviver com a hipótese de que sua teoria poderia ser derrubada algum dia.

Na abordagem matemática, o matemático tenta resolver o problema desenvolvendo um raciocínio lógico, o qual produziria uma conclusão que seria, ao mesmo tempo, indubitavelmente correta e permaneceria assim para sempre.